Il VCF a quattro poli per Sintetizzatori

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Categoria principale: Audio Categoria: Musica Elettronica
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Una breve descrizione del "Moog Transistor-Ladder" e del "Single-Ended Diode-Ladder"

Revisione del 21/09/2010 - Erroneamente ho indicato la variazione della Vt con quella della Vbe

INTRODUZIONE

Vorrei, con questo articolo, riportare l’ esperienza da me maturata nel cercare di comprendere alcuni circuiti dei sintetizzatori.
Nel corso dell’ articolo proverò a descrivere il funzionamento del “Moog Transistor-Ladder filter”, e del “Single- Ended Diode-Ladder filter”.
Benchè voglia ridurre al minimo la parte nozionistica, sarà indispensabile, nel corso dell’ articolo, ricorrere ad  alcuni passaggi matematici, cercherò di proporre tutto nel modo più comprensibile, del resto non vi è nulla di particolarmente complicato.

SPECIFICHE DEL FILTRO

Un filtro passa basso per sintetizzatore, deve sottostare ad alcuni requisiti:

-variazione della frequenza di taglio comandabile da una tensione (generalmente 1V/Ottava)
-regolazione della caratteristica del filtro (chiamato “Q”, “Resonance”, “Emphasis”)
-la regolazione della caratteristica del filtro, deve essere costante al variare della frequenza di taglio
-la regolazione della caratteristica del filtro, deve consentire allo stesso l’ auto-oscillazione
-la regolazione della caratteristica del filtro, non deve portare all’ innesco incontrollato.

NOZIONI FONDAMENTALI

Prima di addentrarci nell’ articolo vero e proprio, credo sia indispensabile fare un richiamo a due concetti fondamentali  per questi circuiti: la Transconduttanza e i Parametri  π.
Tutti i concetti che verranno esposti di seguito sono validi per piccoli segnali (qualche mV).

La Transconduttanza
La definizione, e la trattazione di questo parametro, si trova ovunque:  Internet, testi di elettronica.
Semplificando le cose, si può dire che rappresenta la resistenza dinamica, anzi per meglio dire l’ inverso della resistenza dinamica, presente tra ingresso e uscita di un dispositivo (mi perdonino la definizione i più esperti).
La transconduttanza viene espressa come “gm”  dove : gm=1/R.

In un transistor la transconduttanza vale:

 

Dove IQ  rappresenta la corrente di polarizzazione del transistor, e VT è una tensione che, a 25°C vale 26mV e  che si decrementa di  circa lo 0,33% ad ogni °C di aumento della temperatura, e si incrementa di circa lo 0,33% ad ogni °C di decremento della temperatura.

In un diodo la transcoduttanza è:

 

 Dove IQ  rappresenta la corrente di polarizzazione del diodo.

I Parametri π 

Questo modello è utilizzato per rappresentare il transistor in AC (piccoli segnali).
Naturalmente non è scopo di questo articolo fornire una spiegazione dettagliata, ma solo le informazioni necessarie.

Il transistor, con i parametri π, è schematizzato come nella figura 1:

Questo modello consente di conoscere velocemente i requisiti principali (sempre in AC):

Ic si ricava semplicemente dalla corrente di polarizzazione, rπ (la resistenza dinamica di ingresso) è determinata dal valore di βo che alle basse frequenze è assimilabile alla HFE, (intorno a 100 per transistor tipo il 2N3904).

La struttura che interessa in questo articolo, è quella a base comune che si può rappresentare come nella figura 2:

Essendo rπ circa 100 volte superiore a 1/gm, si trascura la corrente che la attraversa, mentre la corrente di collettore è  –gm x Ve.

IL MOOG TRANSISTOR-LADDER
Probabilmente è il filtro più famoso in musica elettronica. Chi, come me, ha avuto la possibilità di vedere il suo schema, negli anni ’70, ne è rimasto impressionato. Per anni fu imitato, dalla concorrenza, sostituendo ai transistor, dei diodi (probabilmente perché il circuito di Moog era protetto da brevetto).

La figura 3 illustra lo schema di una delle prime versioni (è stata variata diverse volte nei vari modelli di sintetizzatori, ma la struttura del Ladder è sempre rimasta la stessa).

+

Analizzando lo schema si possono individuare i componenti principali dello stesso:

1)    T11 è il generatore di corrente che polarizza il Ladder, tramite questo transistor si ha il    controllo della transconduttanza di tutti i transistor a lui associati, e come si vedrà, della frequenza di taglio del filtro. Ovviamente la base di questo transistor deve essere pilotata da una tensione nel range delle VBE, Il funzionamento di questo componente sarà illustrato nella “conversione esponenziale”.

2)    T1 e T2 sono l’amplificatore differenziale e lo stadio pilota, in corrente del Ladder. In particolare T1 riceve il segnale generato dagli oscillatori, T2 quello di feedback, responsabile della risonanza del filtro.

3)    I transistor da T3 a T10, costituiscono le quattro celle del Ladder ( i quattro poli). La loro struttura è tale che, mentre sugli emettitori formano una rete RC, sui collettori, e quindi uscita in alta impedenza, creano un buffer. Questo vuol dire che ogni cella del Ladder non viene influenzata da quella precedente o da quella successiva.

4)    I transistor da T12 a T15, sono l’ amplificatore di uscita e di feedback

5)    Il potenziometro P2, è il dispositivo per la regolazione della risonanza del filtro, mentre  P1 è un trimmer di taratura della risonanza.

LA CELLA DEL MOOG TRANSISTOR-LADDER FILTER
La struttura di ogni singola cella del Ladder è la seguente:

La cella traslata nei parametri π diventa:

Per conoscere il comportamento della cella occorre ricavare la sua funzione di trasferimento, ossia :

ΔIo/ΔIin

Innanzitutto: il senso delle correnti rappresentato in Fig 4 e Fig 5 è arbitrario. Il valore di rπ è circa 100 volte quello di 1/gm, quindi trascurabile.

La corrente di polarizzazione è quella generata dal transistor T11 (IT11), quindi la transconduttanza del circuito, data la sua configurazione differenziale è:

La corrente di ingresso:

La corrente di uscita:

La corrente nel condensatore:

La tensione ai capi del condensatore:

Quindi:

Sostituendo Ic con la ( 8 ) :

Essendo VA=Iao/-gm e VB=Ibo/-gm:

Occorre isolare ΔIo:

La funzione di trasferimento:

E siamo arrivati al dunque.  Se si sostituisce gm con la formula (5):

Si può considerare:

Quindi:

La formula (13) è sicuramente la più comprensibile, dalla quale si ricava che la frequenza di taglio della singola cella è:

Dove R:

Un’ altra considerazione che si può fare, guardando la (12), è che ad una variazione lineare di IT11, corrisponde una variazione lineare della frequenza di taglio del filtro, occorre quindi interporre una conversione da lineare ad esponenziale, in modo da seguire la progressione delle note della tastiera.

CONVERSIONE ESPONENZIALE
In realtà la conversione esponenziale è già presente nel circuito, viene eseguita dal transistor T11, In quanto, approssimando, in un transistor (approssimando):

Dove Is è la corrente di saturazione inversa, ed ha un valore di circa 10-15.

Quindi:

Siccome dobbiamo ottenere un raddoppio di Ic ad ogni salto di ottava:

Ogni circa 16mV (dipende poi dal transistor impiegato)di incremento della VBE si avrà un raddoppio dell’ ottava.

A questo punto basta aggiungere un buffer prima di T11, come illustrato nella figura 6:

Mediante la partizione RB/RB+RA viene impostata la spaziatura tra le note (16mV per ottava, circa), e tramite il trimmer “RANGE”  il filtro viene “accordato”. Non è importante una grossa precisione in quanto si tratta di variare il colore del timbro e non l’ altezza delle note.

IL SINGLE-ENDED DIODE-LADDER FILTER
Probabilmente è una estensione del diode-Ladder usato nello Steiner-Parker Synthacom, ad ogni modo questa struttura io l’ incontrata per la prima volta sul sito di Osamu Hoshuyama del quale allego il link:

http://www5b.biglobe.ne.jp/~houshu/ ... cf0111.gif

 Una spiegazione abbastanza dettagliata del funzionamento di questo circuito, l’ ho già fornita in un mio precedente articolo su Grix.it:

Per comprendere il funzionamento di questo Ladder, occorre ricordare che la resistenza dinamica di un diodo è:

Nella sua forma più semplice, il Ladder è realizzato come indicato nella figura 7:

In pratica si polarizzano i due diodi in modo simmetrico, per cui nel nodo centrale in DC, VM sarà uguale a 0.

Viceversa il segnale da filtrare, viene inviato con la stessa polarità su entrambi i rami, così quando VA cresce anche VK cresce, quando VA diminuisce anche VK diminuisce, quindi la differenza di potenziale applicata ai diodi rimane costante, cioè la resistenza dinamica degli stessi rimane inalterata. Mentre VM seguirà il segnale di ingresso.

In alternata, le resistenze dinamiche dei diodi si trovano in parallelo, per cui la resistenza da considerare è la metà di quella di un singolo diodo o meglio: 

Aumentare il numero di celle è possibile, avendo cura di mantenere il bilanciamento, in pratica per ogni coppia di diodi aggiunta, andranno inseriti due condensatori il cui valore deve essere la metà di quello che si trova nel punto centrale.

Naturalmente la struttura di questo circuito risulta più semplice del filtro Moog, ma tra le due tipologie esistono alcune differenze.

La prima e più significativa è che il Diode-Ladder non ha bisogno di conversioni esponenziali, in quanto:

Dove I è la corrente che attraversa il diodo, V è la tensione applicata al diodo.

TRANSISTOR-LADDER vs SINGLE-ENDED DIODE-LADDER
Per meglio vedere le differenze tra le due tipologie di filtro, occorre portare i due circuiti in una forma più semplice, composta da resistenze e capacità.

Nella figura di seguito sono riportate le due tipologie di filtro, e le relative funzioni di trasferimento.

 

+

La differenza si vede nelle funzioni di trasferimento, i coefficienti sono diversi: 4-6-4 per il Transistor-Ladder, 10-15-7 per il Single-Ended Diode-Ladder.

Per cercare di comprendere meglio le differenze tra i due circuiti, e dato che un sistema a quattro Poli è sicuramente composto da due sistemi a due Poli, ho provato a scomporre i denominatori di entrambe le equazioni, (usando la regola di Ruffini) in due polinomi del secondo ordine, in modo di ottenere la classica funzione (sempre al denominatore di un filtro a due poli):

Ed ecco il risultato, per il Moog Transistor-Ladder:

Appare subito evidente che:

Insomma stesse frequenze di risonanza, e i quattro poli, reali, e coincidenti.

Nel Single-Ended Diode-Ladder:

Normalizzando i valori per R=1 OHM e C=1F, si ottiene:

Quindi due punti di risonanza diversi e distanziati tra loro del rapporto:

Più o meno la frequenza di risonanza più alta sarà di circa 2,35 volte quella più bassa, e quella più alta sarà verosimilmente quella di oscillazione, o quella più vicina.

Inoltre gli smorzamenti sono diversi:

Tutti e due maggiori di uno, quindi i poli sono reali ma non coincidenti, in pratica quattro poli distinti a quattro frequenze diverse.

 Per farla breve, all’ aumentare della frequenza, prima interverrà un Polo, e quindi la risposta del filtro sarà una attenuazione con pendenza di 20dB/decade, poi un secondo Polo e la pendenza diventa 40dB/decade, poi il terzo (60dB/decade), ed infine il quarto e la pendenza diventa 80dB/decade. Questo si traduce in un ginocchio molto più ampio rispetto al Moog Transistor-Ladder.

Ma alla fine, qual’ è la frequenza di taglio di questi filtri, inteso come -3dB? Questa domanda non ha risposte, proprio per la natura di variabilità della caratteristica dei filtri. Io, personalmente, considero come “frequenza di riferimento”, quella che porta all’ oscillazione, perché la trovo la più utile in fase di taratura e verifica del circuito. In pratica il filtro viene trattato come un VCO, che deve essere accordato in base alla tensione di comando ( con una precisione molto più bassa ovviamente).

Come si vede nella Figura 10, la curva del Diode-Ladder è più “dolce” di quella del Transistor-Ladder. Questo è dovuto al fatto che i quattro poli del filtro Moog sono coincidenti, mentre nel Diode-Ladder sono spaziati fra loro.

Questo pone un diverso approccio nel controllo della risonanza per i due tipi di filtro.

LA RISONANZA
A differenza di un filtro del secondo ordine, dalla cui funzione di trasferimento si ricava tutto, sia la frequenza di taglio che lo smorzamento (la risonanza), in un filtro del quarto ordine le cose sono più complicate.
Per comprendere il funzionamento del circuito, il modo migliore è fare riferimento al modello utilizzato nei controlli automatici che è illustrato di seguito:

Anche in questo caso occorre trovare la funzione di trasferimento (è straconosciuta ma se qualcuno ancora non la sapesse):

sapendo che:

sostituendo:

alla fine della fiera:

Supponiamo di porre il denominatore uguale a 0:

Questo porta a due considerazioni, la prima è che se il denominatore di una frazione è uguale a zero, allora il valore della frazione diventa infinito.

La seconda è che il denominatore si può scrivere:

siccome:

Questo vuole dire che Vk diventa:

In pratica non c’ è più reazione negativa, il segnale di ingresso è uguale al segnale di feedback (che ha invertito la fase “-1”), quindi il sistema diventa un oscillatore.

In parole povere variando il guadagno della reazione (k), possiamo regolare la risonanza del filtro, in particolare:

•    Per valori di k che danno come risultato un valore compreso  tra 0 e prossimi a -1 avremo un tentativo di oscillazione che verrà smorzata nel tempo, tanto più velocemente, quanto più il valore di k tenderà a 0.
•    Per valori di k che danno come risultato -1, si avrà una oscillazione del sistema.
•    Per tutti gli altri valori, il sistema tenderà ad avere un innesco incontrollato, da evitare assolutamente.

Per avere le idee più chiare, è meglio tradurre le formule in schemi semplificati dei due tipi di circuiti:

Forse così è più semplice comprendere come sono suddivise le parti.
Se si torna alla formula (16):

E sostituiamo le variabili con quelle indicate nella Figura 9 (utilizziamo quelle del Moog), si avrà:

semplificando:

Dove k (riferito alla figura 12) è RE/RF.
Se si utilizza la funzione di trasferimento (sempre ricavata dalla Figura 9) del Single-Ended Diode-Ladder:

A questo punto occorre stabilire quale deve essere il valore di k, per fare in modo che la risonanza porti all’ oscillazione ma non all’ innesco.
Per quanto riguarda il Moog Transistor-Ladder, è in realtà molto semplice:

1)    Ogni cella è isolata dalle altre
2)    Tutte le celle sono uguali

Alla frequenza di risonanza, ogni cella attenuerà -3dB.
Alla frequenza di risonanza, ogni cella provocherà uno sfasamento di -45°.

Risultato finale attenuazione -12dB, sfasamento -180°, quindi occorre che il nostro k sia uguale a:

Discorso diverso per il Single-Ended Diode-Ladder, dove ogni cella dipende da quelle adiacenti. Ovviamente si può calcolare, ma diventa molto lungo e noioso.
Un altro metodo è quello di utilizzare un simulatore:  molto semplicemente si simula la parte di circuito che in Figura 12 è identificata con G(s), e si misura l’ attenuazione alla frequenza che provoca una rotazione di fase.
Lo schema utilizzato è il seguente (i valori sono arbitrari):

e la simulazione ottenuta:

Che porta a dire che per ottenere l’ oscillazione del filtro:

In realtà dovrebbe essere 18,4 ma la risoluzione della simulazione è quella che è, come dire che è bene usare un trimmer di taratura.
Nella Figura 15 sono illustrati i comportamenti dei due filtri al variare di k.

 

Un' altra caratteristica di questi filtri  è che variando RF, e quindi il k, corrisponde anche a variare il rapporto RF/RI cioè il guadagno dell' intero circuito.
Infatti come si vede dalle due figure precedenti, all' aumentare del k, diminuisce il guadagno in banda del filtro.

POLI E ZERI
Va subito detto che non è indispensabile avere una conoscenza approfondita dell’ argomento, per potere dimensionare filtri  anche di ordine elevato. La moderna letteratura fornisce gli strumenti per progettare filtri con poche operazioni di denormalizzazione, utilizzando le quattro operazioni.

Discorso diverso per chi si occupa di controlli automatici, dove la conoscenza della disposizione di questi elementi sul piano complesso è indispensabile.

Questa parte dell’ articolo non vuole fornire una trattazione approfondita dell’ argomento, e non ne sarei neanche in grado, ma cercare di renderlo un po’ più comprensibile.
La funzione di trasferimento di un filtro, è riconducibile a:

Dove al numeratore compaiono gli Zeri, e al denominatore i Poli, s naturalmente rappresenta la frequenza.
In questa sezione, nonostante il titolo, non ci occuperemo di Zeri, parlando di filtri con solo Poli, diciamo solo che quando uno Zero annulla il suo valore, il risultato della funzione diventa zero (scusate il gioco di parole).
I Poli rappresentano una sorta di cella ritardatrice, e quando il loro valore si annulla, il valore della funzione diventa infinito.
La posizione dei Poli (e degli Zeri) sul piano complesso, meglio conosciuto come s-plane, fornisce una indicazione grafica, visiva, del comportamento del sistema.
Il piano complesso, come indicato in Figura 16, rappresenta sull’ asse delle ascisse la parte reale (σ), su quello delle ordinate la parte immaginaria (jω).

La caratteristica di questa rappresentazione sta nel fatto di mostrare il comportamento del sistema sia nel dominio della frequenza (riferendoci all’ asse immaginario “jω”), sia nel dominio del tempo (asse reale “σ”).
Le posizioni dei Poli sono rappresentate con delle “x”, mentre gli Zeri con “o”. Nella figura di seguito un esempio:

Nella figura sono indicati due Poli, uno con sola parte reale, e uno complesso. La grossa differenza tra i due sta nel diverso fattore di smorzamento (ζ).

Il fattore di smorzamento è un valore che descrive il comportamento del sistema:

•    Per valori di ζ >  1 il sistema è sovrasmorzato (in sostanza la risposta è lenta)
•    Per valori di ζ =  1 il sistema si dice critico, ossia scendendo ancora di valore cominceranno le oscillazioni
•    Per valori di ζ <  1 il sistema diventa sotto smorzato e inizia ad avere delle auto-oscillazioni che si smorzano tanto più velocemente quanto più ζ è prossimo a 1
•    Per valori di ζ = 0 il sistema entra in oscillazione
•    Per valori di ζ < 0 il sistema si dice divergente, ed entra in un innesco incontrollato.

Se facciamo riferimento alla Figura 17, e prendiamo il esame il Polo complesso, si avrà:

Dalla formula 23 si capisce che per mantenere costante ωn , cioè la frequenza naturale del Polo, se si diminuisce il valore di σ1, occorre aumentare il valore di ω1, viceversa nel caso opposto.
Il vettore ωn è da interpretare come il raggio di una circonferenza, che può spaziare    da -σ1 a ω1 (in realtà non solo, è ovvio), pur mantenendo il suo valore (la frequenza naturale del Polo).

Se adesso si considera la formula 24, si ricava che:

In pratica quando σ1= ωn, che vuole dire che il Polo è composto solo dalla parte reale (jω = 0), il valore dello smorzamento è = 1.
Viceversa quando σ1=0, ossia il Polo è costituito solo dalla parte immaginaria, lo smorzamento è uguale a 0.
In poche parole quanto più un Polo è lontano dall’ asse immaginario (jω), quanto più sarà distante dall’ oscillazione.
La figura successiva, forse chiarisce meglio:

La figura 19 illustra la risposta al gradino di un sistema, partendo da sinistra il primo caso (Polo reale), ha il comportamento di un classico RC, spostandosi verso destra cominciano a essere presenti delle oscillazioni che si smorzano tanto più rapidamente quanto più si è sulla parte sinistra del grafico.
Quando proseguendo ulteriormente verso destra il Polo incrocia l’ asse immaginario, si è nella condizione di oscillazione. Proseguendo ancora verso destra, l’ oscillazione si trasformerà in innesco, gli amplificatori andranno in non linearità.
Ma la cosa importante è che questo spostamento dei Poli, è controllato dal guadagno di anello: il k.
Per trovare la locazione dei Poli in base al valore di k, ad esempio come nelle formule dei due tipi di filtri descritti, occorre risolvere il polinomio di quarto grado presente al denominatore delle equazioni, al variare del parametro k (guadagno di anello). Naturalmente c’ è di meglio da fare nella vita, così io mi sono fatto aiutare da un simulatore, ed ecco i risultati:

 

La figura 20 illustra l’ andamento dei Poli nel Moog Transistor-Ladder per un k che va da 0,25 a 4.
Per guadagni bassi, i quattro poli sono coincidenti sull’ asse reale, aumentando il k, si divideranno in due poli complessi e coniugati e, aumentando progressivamente il k fino a quattro, i poli alla destra arriveranno ad intersecare l’ asse immaginario (parte reale uguale a zero).


L’ andamento del Single-Ended Diode-Ladder, è illustrato nella figura di seguito:

 

La Figura 21 mostra l’ andamento dei Poli del Diode-Ladder, per un k che va 0,39 a 18,4.


Occorre un po’ interpretare la figura, per un k basso i quattro Poli sono distribuiti sull’ asse reale (quelli che nelle coppie di stesso colore, sono agli estremi), incrementando k i Poli andranno a congiungersi, due a due e, ulteriori incrementi li trasformerà in due coppie di Poli complessi e procederanno come indicato.

VALUTAZIONE GRAFICA DEI POLI
Un’ altra caratteristica della rappresentazione dei poli sul piano complesso, è quella di potere valutare “graficamente” il comportamento del sistema.
Se si riprende la formula (22), e la si riadatta, per esempio, ad un sistema ad esempio a tre Poli, si avrà:

 

Dove G rappresenta ad esempio il guadagno in DC.
Se si tira un vettore per ogni Polo, tra la sua origine e la posizione di s (che è =jω cioè la frequenza che stiamo analizzando), si avranno tre vettori che rappresentano s-P1, s-P2 e s-P3, esattamente come nella formula (26). Naturalmente questa è una forma grafica, approssimata, ma se si risolve l’ equazione per i valori di s che si vogliono analizzare, si ottiene una sorta di curva di risposta piuttosto attendibile.

 

La stessa cosa si può fare per ottenere l’ andamento della fase: occorre misurare istantaneamente (per  ogni valore di s preso in considerazione), l’ angolo dei vettori di ogni Polo (meglio s-Polo), e applicare la formula:

 

Normalmente φin corrisponde alla fase iniziale, ed è molto pratico associarlo a 180, per meglio individuare la rotazione di fase (passaggio a 0).
Per rendere l’ idea ho realizzato questo foglio in Excel, dove vengono presi in esame 20 punti:

Alcune precisazioni, i valori dei poli vengono normalmente indicati in io per comodità ho usato direttamente la frequenza.

Il calcolo deve prevedere l’ inserimento di quattro Poli, per cui se si vuole ad esempio valutare un sistema con un solo Polo, occorre posizionare gli altri tre a frequenze molto più elevate, che so 100MHz.

I Poli, parte reale e parte immaginaria, vanno inseriti nelle seguenti coppie di celle:

Polo1 C6-D6
Polo2 E6-F6
Polo3 G6-H6
Polo4 I6-J6

La frequenza di partenza va inserita nella cella B6.

Nella cella B7 va inserito il numero di decadi da valutare, questo ha anche una funzione di zoom, in quanto si possono inserire valori come ad esempio 0,13.

Nella cella K5 va inserito il valore di frequenza a cui verranno normalizzati tutti i valori calcolati in dB. In pratica a quella frequenza corrisponderà lo 0dB. Normalmente un valore di 1Hz o meno va più che bene.

Nella cella A31 va inserita la fase iniziale, normalmente 180 per trovare il passaggio per lo zero, ma si può mettere qualunque valore.

Il Link al file in formato Excel

Ringrazio tutti quelli che hanno avuto la pazienza di seguirmi fino a questo punto, e spero di essere stato di aiuto.

Una piccola precisazione: nella formula (22), ho scritto al numeratore Pn; è chiaramente un errore di battitura in realtà sarebbe: Zn. Mi scuso per l' errore.

Per chi volesse leggersi il documento in formato DOC:  il Link al file in formato Word

RIFERIMENTI INFORMATICI

Timothy Stinchcombe www.timstinchcombe.co.uk/synth/synth_main.html

Tim Stilson http://ccrma.stanford.edu/~stilti/papers/

Moog patents

L’ opera dell’ ing. Corrado Brogi http://spazioinwind.libero.it/corradobrogi

Osamu Hoshuyama http://www5b.biglobe.ne.jp/~houshu/synth/

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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Passive, Active, and Digital Filters
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Fundamentals of Circuits and Filters
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ISBN 978-1-4200-5887-1

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Arthur B. Williams
Electronic Filter Design Handbook
McGraw-Hill
ISBN 0-07-070430-9

Scott Hamilton
An Analog Electronics Companion
Cambridge University Press 2003

Steve Winder
Analog and digital filter design
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ISBN 0-7506-7547-0